Question

定義在R上的函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，當x∈[0，

π

2

），f（sin²x-msinx+m）+f（-2）＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是______．

Answer 1

∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)又是減函數(shù)，
f（sin²x-msinx+m）+f（-2）＞0恒成立?不等式f（sin²x-msinx+m）＞f（2）恒成立
?不等式sin²x-msinx+m＜2恒成立
?m（1-sinx）＜2-sin²x恒成立，
∵x∈[0，

π

2

），
∴m＜

2-xin2x

1-sinx

恒成立，
記g（x）=

2-xin2x

1-sinx

，x∈[0，

π

2

），令t=sinx，則t∈[0，1）
∴g（t）=

2-t2

1-t

，g′（t）=

(t-1)2+1

( 1-t) 2

＞0，
∴g（t）在區(qū)間[0，1）上單調(diào)遞增，
∴g（t）_min=g（0）=2
∴m＜2
故答案為：（-∞，2）．