Question

10．已知函數f（x）=2cosωx（ω＞0），且函數y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求f（$\frac{π}{8}$）的值；
（2）將函數y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求g（x）的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由已知可求周期，利用周期公式可求ω，從而確定函數解析式，進而利用特殊角的三角函數值即可計算得解．
（2）第一次變換得到函數y=ccos（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象，第二次變換得到得到函數y=cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）的圖象，利用余弦函數的圖象和性質即可得出結論．

解答 解：（1）∵函數y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，可得：T=2×$\frac{π}{2}$=$\frac{2π}{ω}$，ω＞0，
∴ω=2，f（x）=2cos2x，
∴f（$\frac{π}{8}$）=2cos（2×$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$．
（2）將函數y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度后得到函數y=2cos2（x-$\frac{π}{6}$）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象，
再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y=2cos（2•$\frac{1}{4}$x-$\frac{π}{3}$）
=2cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）的圖象，
故g（x）=cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$），
令2kπ≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈z，求得4kπ+$\frac{2π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{8π}{3}$，k∈z，
所以g（x）的單調遞減區(qū)間為[4kπ+$\frac{2π}{3}$，4kπ+$\frac{8π}{3}$]，k∈z．

點評 本題主要考查函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，考查了余弦函數的圖象和性質的應用，屬于基礎題．