Question

7．已知單位向量$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)$|\overrightarrow{a}|=1，|\overrightarrow|=1$，對(duì)$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$兩邊平方即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值，進(jìn)而求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$的值，從而得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角．

解答 解：由$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$得：
$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}=3（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=3（{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}）$，且$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=1$；
∴$1-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1=3（1+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1）$；
解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-\frac{1}{2}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$夾角為$\frac{2π}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及向量夾角的范圍．