Question

過拋物線C：上的點M分別向C的準(zhǔn)線和x軸作垂線，兩條垂線及C的準(zhǔn)線和x軸圍成邊長為4的正方形，點M在第一象限.

（1）求拋物線C的方程及點M的坐標(biāo)；

（2）過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與拋物線C交于A，B兩點，如果點M在直線AB的上方，求面積的最大值.

 

Answer 1

（1）y2＝8x，(2，4)；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、韋達定理、點到直線的距離、三角形面積公式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，由題意結(jié)合拋物線圖象得到M點坐標(biāo)，代入拋物線方程中，解出P的值，從而得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及M點坐標(biāo)；第二問，設(shè)出A，B點坐標(biāo)，利用M點，分別得到直線MA和直線MB的斜率，因為兩直線傾斜角互補，所以兩直線的斜率相加為0，整理得到y(tǒng)1＋y2＝－8，代入到中得到直線AB的斜率，設(shè)出直線AB的方程，利用M點在直線AB上方得到b的范圍，令直線與拋物線方程聯(lián)立，圖形有2個交點，所以方程的進一步縮小b的范圍，，而用兩點間距離公式轉(zhuǎn)化，d是M到直線AB的距離，再利用導(dǎo)數(shù)求面積的最大值.

（1）拋物線C的準(zhǔn)線x＝－，依題意M(4－，4)，

則42＝2p(4－)，解得p＝4．

故拋物線C的方程為y2＝8x，點M的坐標(biāo)為(2，4)， 3分

（2）設(shè)．

直線MA的斜率，同理直線MB的斜率．

由題設(shè)有，整理得y1＋y2＝－8．

直線AB的斜率． 6分

設(shè)直線AB的方程為y＝－x＋b．

由點M在直線AB的上方得4＞－2＋b，則b＜6．

由得y2＋8y－8b＝0．

由Δ＝64＋32b＞0，得b＞－2．于是－2＜b＜6． 9分

，

于是．

點M到直線AB的距離，則△MAB的面積

．

設(shè)f(b)＝(b＋2)(6－b)2，則f?(b)＝(6－b)(2－3b)．

當(dāng)時，f?(x)＞0；當(dāng)時，f?(x)＜0．

當(dāng)時，f(b)最大，從而S取得最大值． 12分

考點：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、韋達定理、點到直線的距離、三角形面積公式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.