Question

7．已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna-b（a＞1，b∈R），e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂|≥e-1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[e，+∞）．（參考公式：（a^x）′=a^xlna）

Answer 1

分析 存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，等價(jià)于當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，|f（x）_max-f（x）_min|=f（x）_max-f（x）_min≥e-1，利用導(dǎo)數(shù)易求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最小值f（0），而f（x）_max=max{f（-1），f（1）}，作差后構(gòu)造函數(shù)可得f（x）_max=f（1），從而有f（1）-f（0）≥e-1，再構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性可求得a的范圍．

解答 解：f（x）=a^x+x²-xlna-b，∵存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，
∴當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，|f（x）_max-f（x）_min|=f（x）_max-f（x）_min≥e-1．
f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
①當(dāng)x＞0時(shí)，由a＞1，可知a^x-1＞0，lna＞0，∴f'（x）＞0；
②當(dāng)x＜0時(shí)，由a＞1，可知a^x-1＜0，lna＞0，∴f'（x）＜0；
③當(dāng)x=0時(shí)，f'（x）=0，∴f（x）在[-1，0]上遞減，在[0，1]上遞增．
∴當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）_min=f（0）=1-b，f（x）_max=max{f（-1），f（1）}，
而f（1）-f（-1）=（a+1-lna-b）-（$\frac{1}{a}$+1+lna-b）=a-$\frac{1}{a}$-2lna．
設(shè)g（t）=t-$\frac{1}{t}$-2lnt（t＞0），∵g′（t）=1+$\frac{1}{{t}^{2}}$-$\frac{2}{t}$=（$\frac{1}{t}$-1）²≥0（當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)），
∴g（t）=t-$\frac{1}{t}$-2lnt在t∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，而g（1）=0，
∴當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）＞0，∴當(dāng)a＞1時(shí)，a-$\frac{1}{a}$-2lna＞0，
∴f（1）＞f（-1）．
∴f（1）-f（0）≥e-1，∴a-lna≥e-1，即a-lna≥e-lne．
設(shè)h（a）=a-lna（a＞1），則h′（a）=1-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-1}{a}$＞0，
∴函數(shù)h（a）=a-lna（a＞1）在（1，+∞）上為增函數(shù)，∴a≥e，
∴a的取值范圍是[e，+∞）．
故答案為：[e，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識(shí)，通過(guò)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決函數(shù)、不等式問(wèn)題，考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，同時(shí)也考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．