Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(4m，0)(m＞0，m為常數(shù))，離心率等于0.8，過(guò)焦點(diǎn)F、傾斜角為θ的直線(xiàn)l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)．

(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2) 若θ＝90°，＝，求實(shí)數(shù)m；

(3) 試問(wèn)的值是否與θ的大小無(wú)關(guān)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：(1) ∵ c＝4m，橢圓離心率e＝＝，

∴ a＝5m.∴ b＝3m.

∴ 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.

(2) 在橢圓方程＝1中，

令x＝4m，解得y＝±.

∵ 當(dāng)θ＝90°時(shí)，直線(xiàn)MN⊥x軸，此時(shí)FM＝FN＝，∴＝.

∵＝，∴ ＝，解得m＝.

(3) 的值與θ的大小無(wú)關(guān)．

證明如下：(證法1)設(shè)點(diǎn)M、N到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離分別為d₁、d₂.

顯然該值與θ的大小無(wú)關(guān)．

(證法2)當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率不存在時(shí)，

由(2)知，的值與θ的大小無(wú)關(guān)．

當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為y＝k(x－4m)，　

代入橢圓方程＋＝1，得

(25k²＋9)m²x²－200m³k²x＋25m⁴(16k²－9)＝0.

設(shè)點(diǎn)M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，

∵Δ＞0恒成立，

.

顯然該值與θ的大小無(wú)關(guān)．

題型3　定點(diǎn)問(wèn)題