Question

已知點F（-c，0）（c＞0）是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦點，離心率為e，過F且平行于雙曲線漸近線的直線與圓x²+y²=c²交于點P，且點P在拋物線y²=3cx上，則e²=（　　）

• A、

  13 -1

  3

• B、

  5

• C、

  1+ 5

  2

• D、

  13 +1

  3

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用拋物線的性質(zhì)、雙曲線的漸近線、直線平行的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：如圖，設(shè)拋物線y²=3cx的準(zhǔn)線為l，作PQ⊥l于Q，
設(shè)雙曲線的右焦點為F′，P（x，y）．
由題意可知FF′為圓x²+y²=c²的直徑，
∴PF′⊥PF，且tan∠PFF′=

b

a

，|FF′|=2C，
滿足

y2=3cx       ① x2+y2=c2    ② y x+c = b a

將①代入②得x²+3cx-c²=0，
解得，x=

-3c± 13 c

2

，
即，x=

13 -3

2

c，負值舍去）
代入第三個方程

y

x+c

=

b

a

，即y=

bc

a

•

13 -1

2

再將y代入①得，

b2

a2

=

6( 13 -3)

( 13 -1)2

=e2-1
化簡得，e=

13 +1

3

．
故選：D．

點評：本題考查雙曲線的性質(zhì)，掌握拋物線的性質(zhì)、雙曲線的漸近線、直線平行的性質(zhì)、圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．