Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)Q（1，0）的距離的最大值為3．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）P、A、B為橢圓上的點(diǎn)，△AOB的面積為

3

，M為AB中點(diǎn)，判斷|PQ|²+2|OM|²是否為定值，并求|OP|+|OQ|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由橢圓離心率可化簡(jiǎn)橢圓方程為3x²+4y²=3a²，設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀），由兩點(diǎn)間距離公式可表示|PQ|為x₀的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的最大值，令其為3可求a；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當(dāng)直線AB垂直x軸時(shí)，求出M點(diǎn)坐標(biāo)可判斷|PQ|²+2|OM|²是否為定值，由橢圓性質(zhì)可求|OP|+|OQ|的最大值；

解答： 解：（I）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)Q（1，0）的距離的最大值為3，
∴e=

c

a

=

1- b2 a2

=

1

2

，∴b2=

3

4

a2，∴3x²+4y²=3a²，
設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀），
則|PQ|=

(x0-1)2+ y 2 0

=

1 4 (x0-4)2+ 3 4 a2-3

(-a≤x0≤a)，
記f(x0)=

1 4 (x0-4)2+ 3 4 a2-3

，
當(dāng)a≥4時(shí)，|PQ|_max=f（-a）=3，解得a=-4（舍）或a=2（舍）；
當(dāng)0＜a＜4時(shí)，|PQ|_max=f（-a）=3，解得a=-4（舍）或a=2．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)直線AB垂直x軸時(shí)，由S△AOB=

3

可得|x₁y₁|=

3

，
與

x12

4

+

y12

3

=1聯(lián)立可求得|x₁|=

2

，|y₁|=

6

2

，
當(dāng)A（

2

，

6

2

）時(shí)，M（

2

，0），
2|OM|²=4，而P為動(dòng)點(diǎn)，Q為定點(diǎn)，則|PQ|²為變量，
∴|PQ|²+2|OM|²不為定值．
由橢圓的性質(zhì)知，|OP|+|OQ|的最大值為a+c=2+1=3．

點(diǎn)評(píng)：該題考查橢圓的方程性質(zhì)、考查直線與橢圓的位置關(guān)系、三角形的面積等知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問題的能力．