Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x，x≥0}\\{-a{x}^{2}+x，x＜0}\end{array}\right.$當(dāng)x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]時，恒有f（x+a）＜f（x），則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）
• B． （-1，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）
• C． （$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，0）
• D． （$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，-$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 考慮a=0，a＞0不成立，當(dāng)a＜0時，畫出f（x）的圖象和f（x+a）的大致圖象，考慮x=-$\frac{1}{2}$時兩函數(shù)值相等，解方程可得a的值，隨著y=f（x+a）的圖象左移至f（x）的過程中，均有f（x）的圖象恒在f（x+a）的圖象上，即可得到a的范圍．

解答 解：a=0時，顯然不符題意；
當(dāng)x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]時，恒有f（x+a）＜f（x），
即為f（x）的圖象恒在f（x+a）的圖象之上，
則a＜0，即f（x）的圖象右移．
故A，B錯；
畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x，x≥0}\\{-a{x}^{2}+x，x＜0}\end{array}\right.$（a＜0）的圖象，
當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時，f（-$\frac{1}{2}$）=-a•$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$；
而f（x+a）=$\left\{\begin{array}{l}{a（x+a）^{2}+x+a，x≥-a}\\{-a（x+a）^{2}+x+a，x＜-a}\end{array}\right.$，
則x=-$\frac{1}{2}$時，由-a（-$\frac{1}{2}$+a）²+a-$\frac{1}{2}$=-a•$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$，
解得a=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$舍去），
隨著f（x+a）的圖象左移至f（x）的過程中，均有f（x）的圖象恒在f（x+a）的圖象上，
則a的范圍是（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，0），
故選：C．

點評 本題考查不等式恒成立問題解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想，化為圖象之間的關(guān)系，由圖象平移結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想方法，考查運算能力，屬于難題．