Question

18．已知焦點在x軸上的橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的長軸為4，焦距為2，過右焦點的直線l與橢圓交于A、B兩點，|AB|=$\frac{24}{7}$，則直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 求得a，b，c，可得橢圓方程，設出直線方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，解方程可得斜率k，進而得到傾斜角．

解答 解：由題意可得a=2，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
右焦點F（1，0），直線l方程設為y=k（x-1），
代入橢圓方程，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
即有|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{1+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$，
則|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{24}{7}$，
解得k=±1，
即有tanα=±1（α為傾斜角），
即有α=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查直線和橢圓的位置關系，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，化簡整理的能力，屬于中檔題．