Question

6．設(shè)f（x）是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f（x）滿(mǎn)足：“當(dāng)f（k）＞k²成立時(shí)，總可推出f（k+1）＞（k+1）²成立”．那么，下列命題總成立的是（　　）

• A． 若f（1）≤1成立，則f（9）≤81成立
• B． 若f（2）≤4成立，則f（1）＞1成立
• C． 若f（3）＞9成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f（k）＞k²成立
• D． 若f（3）＞16成立，則當(dāng)k≥3時(shí)，均有f（k）＞k²成立

Answer 1

分析 根據(jù)題意，“當(dāng)f（k）≥k²成立時(shí)，總可推出f（k+1）≥（k+1）²成立”是一種遞推關(guān)系，說(shuō)明若命題對(duì)前一個(gè)正整數(shù)成立，則后一個(gè)正整數(shù)一定成立．反之，若后一個(gè)數(shù)成立，但前一個(gè)數(shù)不一定成立，由此逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)得答案．

解答 解：對(duì)于A，∵原命題成立，否命題不一定成立，
∴f（1）≤1成立不能推出f（2）≤4，更不能推出k=3、4、…的情況，則不一定有f（9）≤81成立，故A不正確；
對(duì)于B，∵原命題成立，則逆否命題一定成立，
∴由f（2）≤4成立，得f（1）≤1成立，不一定有f（1）＞1成立，故B不正確；
對(duì)于C，若f（3）＞9成立，則根據(jù)題意可得“當(dāng)k≥3時(shí)，均有f（k）＞k²成立”，而不能得到k=1、2的情況，故C不正確；
對(duì)于D，若f（3）＞16成立，則f（3）＞9成立，可推出f（4）＞4²成立，接著可出f（5）＞5²成立，…，
依此類(lèi)推可得：當(dāng)k≥3時(shí)，均有f（k）＞k²成立，故D正確．
故懸案：D．

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)滿(mǎn)足正整數(shù)集上的某種遞推關(guān)系為載體，著重考查了四種命題及其關(guān)系和簡(jiǎn)單的合情推理的知識(shí)，是中檔題．