Question

已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）。

（I）求實數(shù)b的值；

（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（III）當a=1時，是否同時存在實數(shù)m和M（m<M），使得對每一個t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[，e]）都有公共點？若存在，求出最小的實數(shù)m和最大的實數(shù)M；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（I）由

（II）由（I）可得

從而

，故：

（1）當

（2）當

綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），

單調(diào)遞減區(qū)間為。

（III）當a=1時，

由（II）可得，當x在區(qū)間內(nèi)變化時，的變化情況如下表：

		-	0	+
		單調(diào)遞減	極小值1	單調(diào)遞增	2

又的值域為[1，2]。

據(jù)經(jīng)可得，若，則對每一個，直線y=t與曲線都有公

共點。

并且對每一個，直線與曲線都沒有公共點。

綜上，當a=1時，存在最小的實數(shù)m=1，最大的實數(shù)M=2，使得對每一個，直線y=t

與曲線都有公共點。