Question

1．已知函數f（x）=e^x-1-$\frac{ax}{x-1}$，a∈R．
（1）若函數g（x）=（x-1）f（x）在（0，1）上有且只有一個極值點，求a的范圍；
（2）當a≤-1時，證明：f（x）＜0對任意x∈（0，1）成立．

Answer 1

分析 （1）求出導函數，由題意可知f（x）在（0，1）上有且只有一個極值點，相當于導函數有一個零點；
（2）問題可轉換為（x-1）（e^x-1）-ax＞0恒成立，構造函數G（x）=（x-1）（e^x-1）-ax，通過二次求導，得出結論．

解答 解：（1）g（x）=（x-1）（e^x-1）-ax，
g'（x）=xe^x-a-1，g''（x）=e^x（x+1）＞0，
∵f（x）在（0，1）上有且只有一個極值點，
∴g'（0）=-a-1＜0，g'（1）=e-a-1＞0，
∴-a＜a＜e-1；
（2）當a≤-1時，f（x）＜0，
∴（x-1）（e^x-1）-ax＞0恒成立，
令G（x）=（x-1）（e^x-1）-ax，
G'（x）=xe^x-a-1，G''（x）=e^x（x+1）＞0，
∴G'（x）在（0，1）單調遞增，
∴G'（x）≥G'（0）=-a-1≥0，
∴G（x）在（0，1）單調遞增，
∴G（x）≥G（0）=0，
∴（x-1）（e^x-1）-ax≥0，
∴當a≤-1時，f（x）＜0對任意x∈（0，1）成立．

點評 本題考查了極值點的概念和導函數的應用，難點是對導函數的二次求導．