Question

7．已知拋物線C的頂點是橢圓E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的中心O，焦點與橢圓E的右焦點重合．過拋物線C的焦點的直線交拋物線于A，B兩點，且$|AB|=\frac{5}{2}p$．
（1）求拋物線的方程；
（2）求直線AB所在的方程．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的右焦點，設(shè)拋物線的方程為y²=2px，可得$\frac{p}{2}$=1，即可得到拋物線的方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），代入拋物線的方程，消去y，運用韋達定理和弦長公式，計算即可得到所求直線的方程．

解答 解：（1）橢圓E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
右焦點為（1，0），
設(shè)拋物線的方程為y²=2px，
可得$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
則拋物線的方程為y²=4x；     
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），
代入拋物線的方程可得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
由拋物線的定義可得|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{5}{2}$p，
即為2+$\frac{4}{{k}^{2}}$=$\frac{3}{2}$×2=3，
解得k=±2，
則所求直線的方程為y=2x-2或y=-2x+2．

點評 本題考查拋物線的方程的求法，注意運用橢圓的性質(zhì)，考查直線的方程的求法，注意運用直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題．