Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且 ，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2

（1）證明：AG∥平面BDE；
（2）求平面BDE和平面BAG所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，

CE平面BCEG，

∴EC⊥平面ABCD．

根據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標系，

可得B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），

A（2，1，0）G（0，2，1）…．（3分）

設平面BDE的法向量為 ，

∵ ，

∴ ，

即 ，

∴x=y=z，

∴平面BDE的一個法向量為

∵

∴ ，

∴ ，

∵AG平面BDE，∴AG∥平面BDE．

（2）解：設平面BAG的法向量為 ，平面BDE和平面BAG所成銳二面角為θ

因為 ， ，

由 得 ，

∴平面BAG的一個法向量為 ，

∴ ．

故平面BDE和平面BAG所成銳二面角的余弦值為

【解析】（1）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可證明AG∥平面BDE；（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求平面BDE和平面BAG所成銳二面角的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．