Question

已知f（x）=tanx+cos（x+m）為奇函數，且m滿足不等式

m2-9

m(m-1)

≤0，則實數m的值為

 

．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：首先解不等式

m2-9

m(m-1)

≤0，得到-3≤m＜0或1＜m≤3，①再根據f（x）=tanx+cos（x+m）為奇函數，由奇函數的定義，以及應用三角恒等變換公式，求出m=kπ+

π

2

，k為整數，②，然后由①②得，m=±

π

2

．

解答： 解：不等式

m2-9

m(m-1)

≤0等價于

m2-9≥0 m(m-1)＜0

或

m2-9≤0 m(m-1)＞0

，
解得，

m≥3或m≤-3 0＜m＜1

或

-3≤m≤3 m＞1或m＜0

，
即有-3≤m＜0或1＜m≤3，①
∵f（x）=tanx+cos（x+m）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x），即tan（-x）+cos（-x+m）=-tanx-cos（m+x），
∴cos（-x+m）=-cos（x+m），
∴cosmcosx+sinmsinx=-cosmcosx+sinmsinx，
∴cosm=0，m=kπ+

π

2

，k為整數，②
∴由①②得，m=±

π

2

．
故答案為：±

π

2

．

點評：本題主要考查函數的奇偶性及運用，注意定義的應用，同時考查分式不等式的解法，是一道基礎題．