Question

16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且$\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c-b}$．
（1）將函數(shù)$f（x）=sin（{2x+φ}）（{0＜φ＜\frac{π}{2}}）$的圖象向右平移角A個單位可得到函數(shù)g（x）=-cos2x的圖象，求φ的值；
（2）若△ABC的外接圓半徑為1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c-b}$利用正弦定理求解出角A大小，根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換即可求解φ的值．
（2）根據(jù)△ABC的外接圓半徑為1，利用正弦定理和余弦定理，結(jié)合基本不等式可得△ABC面積的最大值．

解答 解：由$\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c-b}$和正弦定理可得：$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}=\frac{2sinC-sinB}{sinB}$，
整理得：sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA，即sinC=2sinCcosA，
∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，0＜A＜π，
∴$A=\frac{π}{3}$．
將函數(shù)$f（x）=sin（{2x+φ}）（{0＜φ＜\frac{π}{2}}）$的圖象向右平移角A個單位，可得：sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+φ]．
由題意可得：sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+φ]=-cos2x，即sin（2x-$\frac{2π}{3}$+φ）=sin（2x-$\frac{π}{2}$），
∴φ$-\frac{2π}{3}$=$-\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），
∴φ=$\frac{π}{6}$+2kπ（k∈Z），
∵0＜φ$＜\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$．
（2）根據(jù)△ABC的外接圓半徑為1，A=$\frac{π}{3}$，
∴2RsinA=a，即a=$\sqrt{3}$．
由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，可得：3=b²+c²-bc，
即3+bc≥2bc，可得bc≤3，當且僅當b=c是取等號．
∴△ABC面積的最大值$S=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)圖象的平移變換，正弦定理和余弦定理，基本不等式等知識點的靈活運用和計算能力．