Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy下，曲線C1的參數(shù)方程為（ 為參數(shù)），曲線C1在變換T：的作用下變成曲線C2．

（1）求曲線C2的普通方程；

（2）若m>1，求曲線C2與曲線C3：y=m|x|-m的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）．（2）4

【解析】

（1）先求出曲線C1的普通方程，再根據(jù)圖象變換可求出曲線C2的普通方程；

（2）由題意可得上的點(diǎn)在橢圓E：外，當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由韋達(dá)定理可得當(dāng)時(shí)，曲線C2與曲線C3有且只有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，又曲線C2與曲線C3都關(guān)于y軸對(duì)稱，從而可得結(jié)論．

解：（1）因?yàn)榍�線C1的參數(shù)方程為

所以曲線C1的普通方程為，

將變換T：即代入，得，

所以曲線C2的普通方程為．

（2）因?yàn)?/span>m>1，所以上的點(diǎn)在在橢圓E：外，

當(dāng)x>0時(shí)，曲線的方程化為，

代入，得，（*）

因?yàn)?/span>，

所以方程（*）有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1，x2，

又，，所以x1>0，x2>0，

所以當(dāng)x>0時(shí)，曲線C2與曲線C3有且只有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，

又因?yàn)榍�線C2與曲線C3都關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以當(dāng)x<0時(shí)，曲線C2與曲線C3有且只有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，

綜上，曲線C2與曲線C3：y=m|x|-m的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4．