Question

1．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AC=BC=3D為AB的中點，AB₁⊥A₁C
（1）求點C₁到平面A₁CD的距離；
（2）求二面角A₁-CD-C₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D為原點，DC，DA，DD₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點C₁到平面A₁CD的距離．
（2）求出平面CDC₁的法向量和平面A₁CD的法向量，利用向量法能求出二面角A₁-CD-C₁的平面角的余弦值．

解答 解：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點，AB₁⊥A₁C，
∴以D為原點，DC，DA，DD₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
A（0，2，0），C（$\sqrt{5}$，0，0），設AA₁=t，則A${{\;}_{1}}^{\;}$（0，2，t），B₁（0，-2，t），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，-4，t），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，-2，-t），
∵AB₁⊥A₁C，∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}C}$=8-t²=0，解得t=2$\sqrt{2}$，
∴C₁（0，0，2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（0，2，2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DC}$=（$\sqrt{5}$，0，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，0，2$\sqrt{2}$），
設平面A₁CD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=2y+2\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=\sqrt{5}x=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}$，-1），
∴點C₁到平面A₁CD的距離d=$\frac{|\overrightarrow{D{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
（2）平面CDC₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
平面A₁CD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}$，-1），
設二面角A₁-CD-C₁的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角A₁-CD-C₁的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查空間直線與直線、直線與平面的位置關系、點到平面的距離及二面角等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．