Question

16．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2ax-1，x≥1}\\{ax-1，x＜1}\end{array}\right.$在R上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． 0$＜a≤\frac{1}{3}$
• B． 0＜a≤1
• C． a≤1
• D． a＞0

Answer 1

分析 先分段考察函數(shù)各個分段的單調(diào)性，再確定函數(shù)在區(qū)間銜接點附近的單調(diào)性，最后綜合得出a的取值范圍．

解答 解：因為分段函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，所以，
③當(dāng)x≥1時，f（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-1-a²，
函數(shù)圖象的對稱軸x=a≤1，
即a≤1時，x∈[1，+∞），f（x）單調(diào)遞增；
②當(dāng)x＜1時，f（x）=ax-1，
則當(dāng)a＞0時，x∈（-∞，1），f（x）單調(diào)遞增，
③當(dāng)x→1時，1-2a-1≥a-1，
解得，a≤$\frac{1}{3}$，
綜合以上討論得，0＜a≤$\frac{1}{3}$，
故答案為：A．

點評 本題主要考查了分段函數(shù)單調(diào)性的判斷，涉及一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于中檔題．