Question

（2012•安徽）如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，底面A₁B₁C₁D₁ 是正方形，O是BD的中點(diǎn)，E是棱AA₁上任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：BD⊥EC₁；
（Ⅱ）如果AB=2，AE=

2

，OE⊥EC₁，求AA₁的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接AC，AE∥CC₁，推出底面A₁B₁C₁D₁是正方形．然后證明BD⊥平面EACC₁，即可證明BD⊥EC₁；
（Ⅱ）通過(guò)△OAE∽△EA₁C₁，利用已知條件以及

AE

AO

=

A1C1

EA1

，求出AA₁ 的長(zhǎng)．

解答：解：（Ⅰ）連接AC，AE∥CC₁，⇒E，A，C，C₁共面，
長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面A₁B₁C₁D₁是正方形．
AC⊥BD，EA⊥BD，AC∩EA=A，⇒BD⊥平面EACC₁，⇒BD⊥EC₁；
（Ⅱ）在矩形ACC₁A₁中，OE⊥EC₁，⇒△OAE∽△EA₁C₁，
AB=2，AE=

2

得

AE

AO

=

A1C1

EA1

?

2

2

=

AA1- 2

2 2

，AA₁=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查空間想象能力計(jì)算能力．