Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（，不是橢圓的頂點(diǎn)），點(diǎn)在橢圓上，且.直線與軸、軸分別交于，兩點(diǎn).設(shè)直線，的斜率分別為，，證明存在常數(shù)使得，并求出的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）甶橢圓離心率得到 的關(guān)系，化簡(jiǎn)橢圓方程，和直線方程聯(lián)立后求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把弦長(zhǎng)用交點(diǎn)橫坐標(biāo)表示，則 的值可求，進(jìn)一步得到 的值，則橢圓方程可求；（2）設(shè)出 的坐標(biāo)分別為用 的坐標(biāo)表示 的坐標(biāo)，把 和的斜率都用的坐標(biāo)表示，寫出直線的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到橫縱坐標(biāo)的和，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，則 斜率可求，再寫出所在直線方程，取 得到 點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)求斜率得到 的斜率，由兩直線斜率的關(guān)系得到 的值；

試題解析：（Ⅰ）∵，∴，，∴.①

設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的交點(diǎn).∴，∴代入橢圓方程可得.②

由①②知，，所以橢圓的方程為：.

（Ⅱ）設(shè)，則，直線的斜率為，又，故直線的斜率為.設(shè)直線的方程為，由題知

，聯(lián)立，得.

∴，，由題意知，

∴，直線的方程為.

令，得，即，可得，∴，即.

因此存在常數(shù)使得結(jié)論成立.