Question

（滿分14分）定義在（0，＋∞）上的函數f (x)，對于任意的實數m、n∈（0，＋∞），都有f(mn)＝f(m)＋f(n)成立，且當x>1時，f(x)<0．

（1）計算f(1)的值；

（2）證明f(x)在（0，＋∞）上是增函數；

（3）比較與的大小．

Answer 1

（滿分14分）（1）令m＝n＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，即f(1)＝0．     

（2）任取，且，∴ ，則．      

∵對于任意的實數m、n∈（0，＋∞），都有f(mn)＝f(m)＋f(n)，

∴，                                

∴，即．∴f(x)在（0，＋∞）上是減函數．

                                                                  

（3）∵，                        

∴，而，于是只需比較與mn的大�。�                                                         

∵（當且僅當m＝n時取等號），又由（2）知f(x)在（0，＋∞）上是減函數，

所以（當且僅當m＝n時取等號）．