Question

已知集合M是滿足下列性質的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)k，對任意x∈D(D為函數(shù)的定義域)，等式f(kx)＝＋f(x)成立．

(1)一次函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)是否屬于集合M？說明理由；

(2)設函數(shù)f(x)＝log_ax(a＞1)的圖像與y＝x的圖像有公共點，試證明：f(x)＝log_ax∈M．

Answer 1

答案：
解析：

解　　(1)若一次函數(shù)f(x)∈M，即存在非零的常數(shù)k，使得等式akx＋b＝＋ax＋b，也就是a(k－1)x＝成立．顯然對于任意x∈D＝R，a(k－1)x＝不能恒成立，故f(x)＝ax＋bM． 　　(2)如圖，設函數(shù)f(x)＝logax(a＞1)的圖像與函數(shù)y＝x的圖像的公共點為B(t，t)，則顯然t＞1．在x∈(1，t)上，函數(shù)f(x)＝logax(a＞1)有定義，故在函數(shù)f(x)＝logax(a＞1，x∈(1，t))的圖像即弧AB上，必存在點C(k，)，使等式logax＝成立，其中1＜k＜t． 　　于是，f(kx)＝logakx＝logak＋logax＝＋logax＝＋f(x)，故f(x)＝logax∈M．