Question

２１.(本題12分)

如圖，已知A、B、C是長軸長為4   的橢圓上的三點，點A是長軸的右頂點，BC過橢圓中心O，且·=0，，

（1）求橢圓的方程；

（2）若過C關(guān)于y軸對稱的點D作橢圓的切線DE，則AB與DE有什么位置關(guān)系？證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）=1．

解析:

（1）A（2，0），設(shè)所求橢圓的方程為：=1(0<b<2)

由橢圓的對稱性知，|OC|=|OB|，由·=0得，AC⊥BC，

∵|BC|=2|AC|，∴|OC|=|AC|，∴△AOC是等腰直角三角形，

∴C的坐標(biāo)為（1，1）．

∵C點在橢圓上，∴=1，∴b²=．所求的橢圓方程為=1．

（2）是平行關(guān)系D（-1，1），設(shè)所求切線方程為y-1=k（x+1）

，消去y， 

上述方程中判別式=， 又，所以AB與DE平行.