Question

菱形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，已知PA=PC，
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）在PC上是否存在一點(diǎn)E，使PA∥平面EBD，證明你的結(jié)論。

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
設(shè)AC∩BD=O，
∵PA=PC，
∴AC⊥PO，
又∵BD平面PBD，PO平面PBD，PO∩BD=O，
∴AC⊥平面PBD， 
又AC平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）當(dāng)E為PC的中點(diǎn)時(shí)，PA∥平面EBD；
∵E、O分別為PC、AC的中點(diǎn)，
∴PA∥EO，
∵EO平面EBD，PA平面EBD，
∴PA∥平面EBD。