Question

已知點(1,2)是函數f(x)＝a^x(a>0且a≠1)的圖象上一點，數列{a_n}的前n項和S_n＝f(n)－1.

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)若b_n＝log_aa_n＋1，求數列{a_nb_n}的前n項和T_n.

Answer 1

解　(1)把點(1,2)代入函數f(x)＝a^x得a＝2，

所以數列{a_n}的前n項和為S_n＝f(n)－1＝2ⁿ－1.

當n＝1時，a₁＝S₁＝1；

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝2ⁿ－2^n－1＝2^n－1，

對n＝1時也適合，∴a_n＝2^n－1.

(2)由a＝2，b_n＝log_aa_n＋1得b_n＝n，

所以a_nb_n＝n·2^n－1.

T_n＝1·2⁰＋2·2¹＋3·2²＋…＋n·2^n－1，                   ①

2T_n＝1·2¹＋2·2²＋3·2³＋…＋(n－1)·2^n－1＋n·2ⁿ.          ②

由①－②得：

－T_n＝2⁰＋2¹＋2²＋…＋2^n－1－n·2ⁿ，

所以T_n＝(n－1)2ⁿ＋1.