Question

【題目】如圖，在四棱錐中，⊥平面，底面為梯形，， ，，，為的中點．

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】【試題分析】(I)取的中點,連接通過證明四邊形為平行四邊形,由此證得,進而證明平面.(II)以為坐標原點建立空間直角坐標系,通過計算平面的法向量與直線的方向向量來計算線面角的正弦值.

【試題解析】

（Ⅰ）證明：設(shè)F為PD的中點，連接EF，FA．

因為EF為的中位線，所以EF∥CD，且EF=．

又AB∥CD，AB=2，所以ABEF，故四邊形ABEF為平行四邊形，所以BE∥AF．

又 AF平面PAD，BE平面PAD，所以BE∥平面PAD

（Ⅱ）解：設(shè)G為AB的中點，因為AD=AB，，所以為等邊三角形，故DG⊥AB ；因為AB∥CD，所以DG⊥DC；又PD平面ABCD，所以PD，DG，CD兩兩垂直

以D為坐標原點，為x軸、為軸、為軸建立空間直角坐標系，則，， ，，

設(shè)為平面DBE的一個法向量，則 ，即 ，

令，則

又 ，所以，

即直線PB與平面BDE所成角的正弦值為