Question

12．已知函數(shù)y=f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y∈R滿足：f（x•y）=f（x）+f（y）+1．
①求f（1）、f（-1）的值；
②證明：函數(shù)y=f（x）在R上是偶函數(shù)．

Answer 1

分析 ①通過(guò)x=y=1，即可求解f（1）的值，通過(guò)令x=y=-1，即可求解f（-1）的值．
②令x=-1，用-x換y，化簡(jiǎn)方程，即可證明函數(shù)是偶函數(shù)．

解答 解：①函數(shù)y=f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y∈R滿足：f（x•y）=f（x）+f（y）+1，
令x=y=1，可得：f（1）=f（1）+f（1）+1，可得f（1）=-1，
令x=y=-1可得：f（1）=f（-1）+f（-1）+1，
解得f（-1）=-1．
②證明：令x=-1，-x換y，可得f（x）=f（-1）+f（-x）+1=f（-x），
即f（-x）=f（x）．
函數(shù)y=f（x）在R上是偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，賦值法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．