Question

已知正項數列的前項和為，且 .

（1）求的值及數列的通項公式；

（2）求證：；

（3）是否存在非零整數，使不等式

對一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) ,

(2)根據題意，由于，∴.放縮法來得到證明。

(3)，由是非零整數，知存在滿足條件．

【解析】

試題分析：(1）由.

當時，，解得或（舍去）．  2分

當時，

由，

∵，∴，則，

∴是首項為2，公差為2的等差數列，故．  4分

另法：易得，猜想，再用數學歸納法證明(略)．

（2）證法一：∵

， 4分

∴當時，

.… 7分

當時，不等式左邊顯然成立.         8分

證法二：∵，∴.

∴. 4分

∴當時，

. 7分

當時，不等式左邊顯然成立.  ……8分

（3）由，得，

設，則不等式等價于.

，……9分

∵，∴，數列單調遞增.          

假設存在這樣的實數，使得不等式對一切都成立，則

① 當為奇數時，得； ……11分

② 當為偶數時，得，即.  12分

綜上，，由是非零整數，知存在滿足條件．  12分

考點：數列與不等式

點評：解決的關鍵是利用數列的單調性來證明不等式，以及分離參數的思想來求解參數的取值范圍。