Question

已知函數f（x）=x²-2ax+5在區(qū)間（-∞，2]上單調遞減，且對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：由條件利用二次函數的性質可得a≥2．故只要f（1）-f（a）≤4 即可，即 （a-1）²≤4，求得a的范圍．

解答： 解：由于函數f（x）=x²-2ax+5的圖象的對稱軸為x=a，函數f（x）=x²-2ax+5在區(qū)間（-∞，2]上單調遞減，∴a≥2．
故在區(qū)間∈[1，a+1]上，1離對稱軸x=a最遠，故要使對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，
只要f（1）-f（a）≤4 即可，即 （a-1）²≤4，求得-1≤a≤3．
再結合 a≥2，可得2≤a≤3，
故答案為：[2，3]．

點評：本題主要二次函數的性質，絕對值不等式的解法，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．