Question

【題目】P是圓上的動點，P點在x軸上的射影是D，點M滿足．

（1）求動點M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；

（2）過點的直線l與動點M的軌跡C交于不同的兩點A，B，求以OA，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點E的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（1）點M的軌跡C的方程為，軌跡C是以，為焦點，長軸長為4的橢圓（2）

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)可求得，代入圓的方程可得所求軌跡方程；根據(jù)軌跡方程可知軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓；

（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，利用求得；利用韋達定理表示出與，根據(jù)平行四邊形和向量的坐標運算求得，消去后得到軌跡方程；根據(jù)求得的取值范圍，進而得到最終結(jié)果.

（1）設(shè)，則

由知：

點在圓上

點的軌跡的方程為：

軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓

（2）設(shè)，由題意知的斜率存在

設(shè)，代入得：

則，解得：

設(shè)，，則

四邊形為平行四邊形

又 ∴，消去得：

頂點的軌跡方程為