Question

若函數(shù)的最小值是-2，求實(shí)數(shù)a的值，并求出此時(shí)f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式，化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，即可用cosx表示f（x）；換元t=cosx，0則t∈[0，1]，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)閉區(qū)間上的最小值問(wèn)題，通過(guò)分類(lèi)，分別利用f（x）的最小值是-2，求實(shí)數(shù)a的值．
解答：解：函數(shù)f（x）=（a-1）²-2sin²x-2acosx
=（a-1）²-2+cos²x-2acosx
=2cos²x-2acosx+a²-2a-1．令t=cosx，則t∈[0，1]，
，t∈[0，1]
①當(dāng)，即a≤0時(shí)，，故a=1（舍）
②當(dāng)，即0＜a＜2時(shí)，
解得，取，此時(shí)y_max=-1
③當(dāng)，即a≥2時(shí)，
解得a=1（舍）或a=3，，此時(shí)y_max=2
綜上，當(dāng)時(shí)y_max=-1；當(dāng)a=3時(shí)y_max=2
點(diǎn)評(píng)：本題考查換元法，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．