Question

17．已知等比數(shù)列{a_n}的公比q=2，前3項(xiàng)和是7，等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=3，2b₂=a₂+a₄．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列$\left\{{\frac{2}{{（2n-1）{b_n}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義以及等比數(shù)列的求和公式即可求出通項(xiàng)公式，
（Ⅱ）$\frac{2}{（2n-1）_{n}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，裂項(xiàng)求和即可．

解答 解：（Ⅰ）∵等比數(shù)列{a_n}的公比q=2，前3項(xiàng)和是7，
∴a₁+2a₁+4a₁=7，
∴a₁=1，
∴a_n=2^n-1，
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，
∵b₁=3，2b₂=a₂+a₄=2+8，
∴b₂=5，
∴d=5-3=2，
∴b_n=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）$\frac{2}{（2n-1）_{n}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{2}{{（2n-1）{b_n}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和S_n=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和裂項(xiàng)求和，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題