Question

如圖，四棱錐O-ABCD中，底面是邊長為1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，則異面直線AB與MD所成角的大小為（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  3π

  4

Answer 1

分析：根據(jù)CD∥AB，結(jié)合異面直線所成的角的定義，可知∠MDC（或其補角）為異面直線AB與MD所成的角，再利用線面垂直的性質(zhì)與勾股定理加以計算，可得答案．

解答：解：∵CD∥AB，
∴∠MDC（或其補角）為異面直線AB與MD所成的角
作AP⊥CD于P，連結(jié)MP，
由OA⊥平面ABCD，得到MP在平面ABCD內(nèi)的射影為AP，
∴MP⊥CD，
∵∠ABC=

π

4

，
∴RtAPD中，∠ADP=

π

4

，可得DP=

2

2

AD=

2

2

，
∵Rt△ADM中，MD=

AM2+AD2

=

2

，
∴Rt△MDP中，cos∠MDC=

DP

MD

=

1

2

，可得∠MDC=

π

3

即AB與MD所成角的大小為

π

3

．
故選：C

點評：本題以四棱錐為載體，考查線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理、異面直線所成角的定義及其求法等知識，屬于中檔題．