Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）設(shè)，求證：存在唯一的，使得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線l與函數(shù)的圖象也相切；

（3）求證：對任意給定的正數(shù)a，總存在正數(shù)x，使得不等式成立．

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為（0，]；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，在函數(shù)定義域內(nèi)由確定其增區(qū)間；

（2）先求出在處的切線方程，設(shè)這條切線與的圖象切于點(diǎn)，由，得出關(guān)于的方程，然后證明此方程的解在上存在且唯一．

（3）把問題轉(zhuǎn)化為在上有解，令，則只要即可．

（1）h（x）＝g（x）﹣x2＝lnx﹣x2，x∈（0，+∞）．

令，

解得．

∴函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，]．

（2）證明：設(shè)x0＞1，，可得切線斜率，

切線方程為：．

假設(shè)此切線與曲線y＝f（x）＝ex相切于點(diǎn)B（x1，），f′（x）＝ex．

則k=，

∴．

化為：x0lnx0﹣lnx0﹣x0－1＝0，x0＞1．

下面證明此方程在（1，+∞）上存在唯一解．

令u（x0）＝x0lnx0﹣lnx0﹣x0－1，x0＞1．

，在x0∈（1，+∞）上單調(diào)遞增．

又u′（1）＝－1，，

∴在上有唯一實(shí)數(shù)解，

，，遞減，

時(shí)，，遞增，

而，∴在上無解，

而，∴在上有唯一解．

∴方程在（1，+∞）上存在唯一解．

即：存在唯一的x0，使得函數(shù)y＝g（x）的圖象在點(diǎn)A（x0，g（x0））處的切線l與函數(shù)y＝f（x）的圖象也相切．

（3）證明：，

令v（x）＝ex﹣x﹣1，x＞0．

∴v′（x）＝ex﹣1＞0，

∴函數(shù)v（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴v（x）＞v（0）＝0．

∴，

∴不等式，a＞0ex﹣x﹣1﹣ax＜0，

即H（x）＝ex﹣x﹣1﹣ax＜0，

由對任意給定的正數(shù)a，總存在正數(shù)x，使得不等式成立H（x）min＜0．

H（x）＝ex﹣x﹣1﹣ax，a，x∈（0，+∞）．

H′（x）＝ex﹣1﹣a，令ex﹣1﹣a＝0，

解得x＝＞0，

函數(shù)H（x）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（，+∞）上單調(diào)遞增．

∵H（0）＝0，∴．

∴存在對任意給定的正數(shù)a，總存在正數(shù)x，使得不等式成立．