Question

【題目】設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的離心率．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓的基本量的關(guān)系得：，化簡，，所以，所求直線方程；（2）設(shè)直線的方程為，由直線與圓錐曲線的位置關(guān)系聯(lián)立，整理得，，從而，由，，直線的方程為，聯(lián)立方程組得解得，根據(jù)大角對大邊，，從而，化簡得，即，解得或．

試題解析：（1）設(shè)，由，即，

可得，

又，所以，因此，

所以橢圓的方程為．

（2）設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為，設(shè)，

由方程組整理得，

解得，或，

由題意得，從而．

由（１）知，，設(shè)，有，，

由，得，所以，解得，

因此直線的方程為．

設(shè)，由方程組

解得，

在△中，等價(jià)于，

即，

化簡得，即，

解得或．

所以，直線的斜率的取值范圍為．