Question

（2008•武漢模擬）已知P為橢圓

x2

4

+y2=1和雙曲線(xiàn)x2-

y2

2

=1的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的焦點(diǎn)，那么∠F₁PF₂的余弦值為

-

1

3

．

Answer 1

分析：由橢圓和雙曲線(xiàn)方程，可知兩條圓錐曲線(xiàn)共焦點(diǎn)，P為橢圓與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)，根據(jù)橢圓與雙曲線(xiàn)的定義，可求出P到
F₁，F(xiàn)₂距離，在三角形PF₁F₂中，應(yīng)用余弦定理，就可求出∠F₁PF₂的余弦值．

解答：解：∵橢圓

x2

4

+y2=1，∴橢圓中c=

3

，
∵雙曲線(xiàn)x2-

y2

2

=1，∴雙曲線(xiàn)中c=

3

，∴橢圓與雙曲線(xiàn)共焦點(diǎn)，
∵P為橢圓

x2

4

+y2=1和雙曲線(xiàn)x2-

y2

2

=1的一個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)P點(diǎn)在雙曲線(xiàn)右支上，
∴|PF₁|+|PF₂|=4，|PF₁|-|PF₂|=2，∴∴|PF₁|=3，∴|PF₂|=1，|F₁F₂|=2

3

在△F₁PF₂中，cos∠F₁PF₂=

32+12-(2 3 )2

2×3×1

=-

1

3

故答案為-

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓與雙曲線(xiàn)的定義和性質(zhì)，以及焦點(diǎn)三角形中，余弦定理的考查，屬于常規(guī)題．