Question

【題目】已知橢圓方程為，左，右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，是面積為4的直角三角形.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過作直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，若，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由是面積為4的等腰直角三角形，可得，結(jié)合三角形的面積公式解方程可得，求得，進(jìn)而得到所求橢圓方程；

（2）過直線分斜率存在和不存在分別求解，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)直線方程設(shè)為，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合條件可得的范圍，再由三角形的面積公式可得的面積，結(jié)合運(yùn)用韋達(dá)定理，可得所求范圍.

解：（1）由已知可得等腰直三角形，則

，解得，.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方程為.

（2）設(shè)，.

①當(dāng)直線斜率k不存在時(shí)

，，，

這與不符.

②當(dāng)直線斜率k存在時(shí)

可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，

代入化歸消元得，

所以，.

則

.

，

點(diǎn)到直線的距離.

所以的面積

.

設(shè)，則，.

因?yàn)?/span>，所以，

所以.

綜上所述，面積的取值范圍是.