Question

已知函數(shù)在x=±1處取得極值

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求證：對于區(qū)間[－1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有≤4；

（3）若過點A（1，m）（m ≠－2）可作曲線的三條切線，求實數(shù)m的范圍。

Answer 1

解：（1）=3ax²+2bx－3，依題意，f′（1）=f′（－1）=0，

       即             …………………   2分

       解得a=1，b=0．∴f（x）=x³－3x．          ………………………    4分

   （2）∵f（x）=x³－3x,∴f ′（x）=3x²－3=3（x+1）（x－1），

當－1<x<1時，f ′ （x）<0，故f（x）在區(qū)間[－1，1]上為減函數(shù)，

f_max（x）=f（－1）=2，f_min（x）=f（1）=－2    ……………………   6分

∵對于區(qū)間[－1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，

都有|f（x₁）－f（x₂）|≤|f_max（x） －f_min（x）|

|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|=2-（－2）=4     ………………  8分

（3）f′（x）=3x²－3=3（x+1）（x－1），

∵曲線方程為y=x³－3x，∴點A（1，m）不在曲線上．

設切點為M（x₀，y₀），則點M的坐標滿足

因，故切線的斜率為，

整理得．

∵過點A（1，m）可作曲線的三條切線，

∴關于x₀方程=0有三個實根．  ………………  10分

設g（x­₀）= ，則g′（x₀）=6，

由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀­=1．

∴g（x₀）在（－∞，0），（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減．

∴函數(shù)g（x₀）= 的極值點為x₀=0，x₀=1 

∴關于x₀方程=0有三個實根的充要條件是

，解得－3<m<－2．

故所求的實數(shù)a的取值范圍是－3<m<－2．  ……………  12分