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在△ABC中，已知
sin2A+sin2B-sin2C
sin2A-sin2B+sin2C
=
1+cos2C
1+cos2B
，求△ABC的形狀．
分析：根據(jù)正弦定理和二倍角的余弦公式，化簡已知等式得到
cos C
cos B
(
b
c
-
cosC
cosB
)=0，再分別討論等式
cos C
cos B
=0和等式
b
c
-
cosC
cosB
=0，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值和三角恒等變換化簡，即可得到△ABC為等腰三角形或直角三角形．
解答：解：∵
sin2A+sin2B-sin2C
sin2A-sin2B+sin2C
=
1+cos2C
1+cos2B
，
∴根據(jù)正弦定理與二倍角的余弦公式，得
a2+b2-c2
a2-b2+c2
=
cos2C
cos2B

∵a2+b2-c2=2abcosC，a2-b2+c2=2accosB，
∴代入，化簡得
cos C
cos B
(
b
c
-
cosC
cosB
)=0，即
cos C
cos B
=0或
b
c
-
cosC
cosB
=0
①當
cos C
cos B
=0時，cosC=0得C=90°
②當
b
c
-
cosC
cosB
=0時，根據(jù)正弦定理得
sinB
sinC
-
cosC
cosB
=0
化簡得sinBcosB=sinCcosC，即sin2B=sin2C
∴B=C或B+C=90°，三角形為等腰或直角三角形
綜上所述，△ABC為等腰三角形或直角三角形．
點評：本題給出三角形的邊角關(guān)系式，判斷三角形的形狀．著重考查了正余弦定理解三角形、三角恒等變換和三角形形狀的判斷等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知|
AB
|=4，|
AC
|=1，S△ABC=
3
，則
AB
•
AC
的值為（　�。�
A、-2B、2C、±4D、±2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•婺城區(qū)模擬）在△ABC中，已知
AB
•
AC
=9，sinB=cosA•sinC，S△ABC=6，P為線段AB上的點，且
CP
=x•
CA
|
CA
|
+y
CB
|
CB
|
，則xy的最大值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知a=8，c=18，S△ABC=36
3
，則B等于
B=
π
3
或
2π
3
B=
π
3
或
2π
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知
AB
•
AC
=9，sinB=cosAsinC，S△ABC=6，P為線段AB上的一點，且
CP
=x•
CA
|
CA
|
+y•
CB
|
CB
|
，則
1
x
+
1
y
的最小值為
7
12
+
3
3
7
12
+
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源：高中數(shù)學全解題庫(國標蘇教版·必修4、必修5) 蘇教版 題型：044

在△ABC中，已知S△ABC＝(a2＋b2)，求A，B，C．

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