Question

平面內(nèi)有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1)，點(diǎn)X為直線(xiàn)OP上的一動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)·取最小值時(shí)，求OX的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)X滿(mǎn)足(1)的條件和結(jié)論時(shí)，求cos∠AXB的值.

Answer 1

解：(1)設(shè)=(x,y)，因?yàn)辄c(diǎn)X在直線(xiàn)OP上，所以向量與共線(xiàn).

又=(2,1)，所以x·1-y·2=0,x=2y.所以=(2y,y).

又且=(1,7)，所以=(1-2y,7-y).

同理，=(5-2y,1-y).

于是有·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5(y-2)²-8.

所以當(dāng)y=2時(shí)，·=5(y-2)²-8有最小值-8，此時(shí)=(4,2).

(2)當(dāng)=(4,2)，即y=2時(shí)，

有=(-3,5),=(1,-1),||=,||=,

·=-3×1+5×(-1)=-8.

所以cos∠AXB==.