Question

設(shè)斜率為的直線交橢圓：于兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，直線的斜率為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)、都存在）．

（1）求×的值．

（2）把上述橢圓一般化為（＞＞０），其它條件不變，試猜想與關(guān)系(不需要證明)．請你給出在雙曲線（＞０，＞０）中相類似的結(jié)論，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）略

【解析】解（一）：（1）設(shè)直線方程，代入橢圓方程并整理得:

,

,又中點(diǎn)M在直線上，所以，從而可得弦中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，所以

解（二）設(shè)點(diǎn)，中點(diǎn) 則

   

又與作差得  所以

（2）對于橢圓，   

已知斜率為的直線交雙曲線（＞０，＞０）于兩點(diǎn)，點(diǎn) 為弦的中點(diǎn)，直線的斜率為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)、都存在）．

則×的值為．

（解一）、設(shè)直線方程為，代入（＞０，＞０）方程并整理得：

，，

所以，即   

(解二）設(shè)點(diǎn) 中點(diǎn)

 則      

又因為點(diǎn)在雙曲線上，則與作差得

    即