Question

（本小題滿(mǎn)分10分）

設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：．

  （1）證明：對(duì)恒成立；

   (2)令，判斷與的大小，并說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）證明略

（2）

【解析】解：（1）證法一：當(dāng)時(shí)，，不等式成立，

假設(shè)時(shí)，成立   （2分），

當(dāng)時(shí)，．（5分）

時(shí)，時(shí)成立

綜上由數(shù)學(xué)歸納法可知，  對(duì)一切正整數(shù)成立    （6分）

證法二：當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；

假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即（2分） 當(dāng)時(shí)，

由函數(shù)的單增性和歸納假設(shè)有

（4分）,

因此只需證：，

而這等價(jià)于，

顯然成立，所以當(dāng)是，結(jié)論成立；

綜上由數(shù)學(xué)歸納法可知，  對(duì)一切正整數(shù)成立    （6分）

證法三：由遞推公式得，

     （2分）

上述各式相加并化簡(jiǎn)得

         （4分）

又時(shí)，顯然成立，   故（6分）

   （2）解法一：（8分）

  （10分）

又顯然，故成立      （12分）

解法二：

（由（1）的結(jié)論）（8分）

     （10分）

所以           （12分）

    解法三：      （8分）

      （10分）

      

故，因此                   （12分）