Question

在平面直角坐標系中，拋物線C的頂點在原點，焦點F的坐標為（1，0）。

（1）求拋物線C的標準方程；

（2）設(shè)M、N是拋物線C的準線上的兩個動點，且它們的縱坐標之積為，直線MO、NO與拋物線的交點分別為點A、B，求證：動直線AB恒過一個定點。

 

Answer 1

【答案】

(1)設(shè)拋物線的標準方程為，則，

所以拋物線方程為

（2）直線MO的方程：，與聯(lián)立解得A點坐標，B點坐標，得出直線AB的方程為：，說明直線AB恒過定點（1,0）。

【解析】

試題分析：(1)設(shè)拋物線的標準方程為，則，

所以拋物線方程為

（2）拋物線C的準線方程為，設(shè)，其中，

直線MO的方程：，將與聯(lián)立解得A點坐標。

同理可得B點坐標，則直線AB的方程為：

整理得，故直線AB恒過定點（1,0）。

考點：本題主要考查直線方程，拋物線標準方程，直線與拋物線的位置關(guān)系。

點評：中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求拋物線標準方程時，主要運用了拋物線的幾何性質(zhì)。（2）證明直線過定點問題時，巧妙地假設(shè)，并應(yīng)用假設(shè)字母表示點的坐標，值得學(xué)習(xí)。