Question

14．若函數(shù)f（x）=2x-$\frac{1}{2x}$+a是奇函數(shù)，則使f（x）＞3成立的x的取值范圍為{x|$\frac{3-\sqrt{13}}{4}$＜x＜0或x＞$\frac{3+\sqrt{13}}{4}$}．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)求出a，解不等式即可．

解答 解：∵f（x）=2x-$\frac{1}{2x}$+a是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即-2x+$\frac{1}{2x}$+a=-（2x-$\frac{1}{2x}$+a）=-2x+$\frac{1}{2x}$-a，
即a=-a，則a=0，
解f（x）=2x-$\frac{1}{2x}$，
由f（x）＞3得2x-$\frac{1}{2x}$＞3，
即2x-$\frac{1}{2x}$-3＞0，
則$\frac{4{x}^{2}-6x-1}{2x}$＞0，
若x＞0，則4x²-6x-1＞0，
即x＞$\frac{3+\sqrt{13}}{4}$或x＜$\frac{3-\sqrt{13}}{4}$（舍），
若x＜0，則4x²-6x-1＜0，
即$\frac{3-\sqrt{13}}{4}$＜x＜$\frac{3+\sqrt{13}}{4}$，
此時$\frac{3-\sqrt{13}}{4}$＜x＜0，
綜上不等式的解為$\frac{3-\sqrt{13}}{4}$＜x＜0或x＞$\frac{3+\sqrt{13}}{4}$，
即不等式的解集為{x|$\frac{3-\sqrt{13}}{4}$＜x＜0或x＞$\frac{3+\sqrt{13}}{4}$}，
故答案為：{x|$\frac{3-\sqrt{13}}{4}$＜x＜0或x＞$\frac{3+\sqrt{13}}{4}$}

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及不等式的求解，考查學生的運算能力．