Question

【題目】已知實數(shù)，函數(shù).

（1）當時，求的最小值;

（2）當時,判斷的單調(diào)性,并說明理由；

（3）求實數(shù)的范圍，使得對于區(qū)間上的任意三個實數(shù)，都存在以為邊長的三角形.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）遞增；（3）．

【解析】

試題(1)研究函數(shù)問題，一般先研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性，單調(diào)性，周期性等等，如本題中函數(shù)是偶函數(shù)，因此其最小值我們只要在時求得即可；（2）時，可化簡為，下面我們只要按照單調(diào)性的定義就可證明在上函數(shù)是單調(diào)遞增的，當然在上是遞減的；（3）處理此問題，首先通過換元法把問題簡化，設，則函數(shù)變?yōu)?/span>，問題變?yōu)榍髮崝?shù)的范圍，使得在區(qū)間上，恒有．對于函數(shù)，我們知道，它在上遞減，在上遞增，故我們要討論它在區(qū)間上的最大（小）值，就必須分類討論，分類標準顯然是，，，在時還要討論最大值在區(qū)間的哪個端點取得，也即共分成四類．

試題解析：易知的定義域為，且為偶函數(shù).

（1）時,

時最小值為2.

（2）時,

時，遞增；時，遞減；

為偶函數(shù).所以只對時，說明遞增.

設，所以，得

所以時，遞增；

（3），，

從而原問題等價于求實數(shù)的范圍，使得在區(qū)間上，

恒有.

①當時，在上單調(diào)遞增，

由得，

從而；

②當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，

由得，從而；

③當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，

由得，從而；

④當時，在上單調(diào)遞減，

由得，從而；

綜上，.