Question

19．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F分別為A₁C₁、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：C₁F∥平面ABE；
（2）求證：平面ABE⊥平面B₁BCC₁．

Answer 1

分析 （1）取AB中點(diǎn)D，連接DE，DF，運(yùn)用中位線定理，可得DFC₁E為平行四邊形，即有C₁F∥ED，再由線面平行的判定定理，即可得證；
（2）運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)和判定，可得AB⊥面B₁BCC₁，再由面面垂直的判定定理，即可得證．

解答 證明：（1）取AB中點(diǎn)D，連接DE，DF，
∵D、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴DF∥AC，且DF=$\frac{1}{2}$AC，
∵E為A₁C₁中點(diǎn)，∴EC₁∥AC，且EC₁=$\frac{1}{2}$AC，
∴DF∥EC₁，且DF=EC₁，
∴DFC₁E為平行四邊形，∴C₁F∥ED，
又∵ED?面ABE，C₁F?面ABE，
∴C₁F∥面ABE；    
（2）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，
∴CC₁⊥面ABC，
∵AB?面ABC，∴AB⊥CC₁，
又∵AB⊥BC，BC，CC₁?面B₁BCC₁，BC∩CC₁=C，
∴AB⊥面B₁BCC₁，
∵AB?面ABE，∴面ABE⊥面B₁BCC₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間線面平行和面面垂直的判定定理的運(yùn)用，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．