Question

本題包括A、B兩小題，考生都做．
A選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=

a b c d

，若矩陣A屬于特征值3的一個(gè)特征向量為α1=

1 1

，屬于特征值-1的一個(gè)特征向量為α2=

1 -1

，求矩陣A．
B選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系x0y中，直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 t y= 2 2 + 3 2 t

（t為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系xOy的O點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox為極軸，且長(zhǎng)度單位相同，建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos(θ-

π

4

)．
（1）求直線l的傾斜角；
（2）若直線l與曲線l交于A、B兩點(diǎn)，求AB．

Answer 1

分析：A、利用矩陣特征值、特征向量的定義，建立方程組，即可求得矩陣A；
B、（1）利用參數(shù)方程可得

cosθ= 1 2 sinθ= 3 2

且θ∈[0，π），從而可得直線l的傾斜角；
（2）求出l的普通方程，ρ=2cos(θ-

π

4

)的直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線l的距離，即可計(jì)算|AB|．

解答：A解：由矩陣A屬于特征值3的一個(gè)特征向量為α1=

1 1

可得

a b c d

1 1

=3

1 1

，
即

a+b=3 c+d=3

；            …（4分）
由矩陣A屬于特征值2的一個(gè)特征向量為α2=

1 -1

，可得

a b c d

1 -1

=（-1）

1 -1

，
即

a-b=-1 c-d=1

…（6分）
解得

a=1 b=2 c=2 d=1

，即矩陣A=

12 21

…（10分）
B解：（1）設(shè)直線l的傾斜角為θ，則

cosθ= 1 2 sinθ= 3 2

且θ∈[0，π），∴θ=

π

3

，即直線l的傾斜角為

π

3

…（5分）
（2）l的普通方程為y=

3

x+

2

2

，ρ=2cos(θ-

π

4

)的直角坐標(biāo)方程為(x-

2

2

)2+(y-

2

2

)2=1，
所以圓心(

2

2

，

2

2

)到直線l的距離d=

6

4

，
∴|AB|=

10

2

…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題是選做題，考查矩陣與變換，考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．