Question

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)(,0),且與直線x=相切,其中p＞0.

(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程;

(2)設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn),直線OA和OB的傾斜角分別為α和β,當(dāng)α、β變化且α+β為定值θ(0＜θ＜π)時(shí),證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

思路解析:此題是圓錐曲線的綜合題,(1)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程求解時(shí),常常結(jié)合其滿足的幾何特征及常見(jiàn)圓錐曲線的定義來(lái)分析比較容易,即常用數(shù)形結(jié)合的方法.(2)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題必須引入?yún)��?shù)表示出直線的方程,由直線系方程來(lái)解.

(1)解:如圖,設(shè)M為動(dòng)圓圓心,(,0)記為F,過(guò)點(diǎn)M作直線x=的垂線,垂足為N,由題意知|MF|=|MN|,即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F與定直線x=的距離相等,由拋物線的定義,知點(diǎn)M的軌跡為拋物線,其中F(,0)為焦點(diǎn),x=-為準(zhǔn)線,所以軌跡方程為y²=2px(p＞0).

(2)證明:如圖,設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

由題意得x₁≠x₂(否則α+β=π)且x₁、x₂≠0.

所以直線AB的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+b.

顯然x₁=,x₂=.

將y=kx+b與y²=2px(p＞0)聯(lián)立消去x,得ky²-2py+2pb=0.

由韋達(dá)定理知y₁+y₂=,y₁·y₂=.                                       ①

當(dāng)θ=,即α+β=時(shí),tanα·tanβ=1.

所以=1,x₁x₂-y₁y₂=0,

-y₁y₂=0,所以y₁y₂=4p².

由①知=4p²,所以b=2pk.

因此直線AB的方程可表示為y=kx+2pk,

即k(x+2p)-y=0.所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(-2p,0).

當(dāng)θ≠,由α+β=θ,得tanθ=tan(α+β)=.

將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得tanθ=,

所以b=+2pk.

此時(shí),直線AB的方程可表示為y=kx++2pk,

即k(x+2p)-(y-)=0.

所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(-2p,).

所以,當(dāng)θ=時(shí),直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(-2p,0),

當(dāng)θ≠時(shí)直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(-2p,).